Google
Câu hỏi: Trên mặt phẳng \(Oxy\), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(| z – i| = |(1 + i)z|\).
(Đề thi Đại học năm 2010, khối B)
(Đề thi Đại học năm 2010, khối B)
Phương pháp giải
Đặt \(z = x + yi\), tìm mối quan hệ của \(x, y\) và suy ra tập hợp điểm biểu diễn.
Lời giải chi tiết
Đặt \(z = x + yi\).
Ta có:
\(|z – i| = |(1 + i)z|\) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left({1 + i} \right)\left({x + yi} \right)} \right|\) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left({x - y} \right) + \left({x + y} \right)i} \right|\)\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left({x - y} \right)}^2} + {{\left({x + y} \right)}^2}} \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = 2{x^2} + 2{y^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y = 1\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\).
Các điểm biểu diễn \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(I(0; -1)\) bán kính \(\sqrt 2 \).
Đặt \(z = x + yi\), tìm mối quan hệ của \(x, y\) và suy ra tập hợp điểm biểu diễn.
Lời giải chi tiết
Đặt \(z = x + yi\).
Ta có:
\(|z – i| = |(1 + i)z|\) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left({1 + i} \right)\left({x + yi} \right)} \right|\) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left({x - y} \right) + \left({x + y} \right)i} \right|\)\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left({x - y} \right)}^2} + {{\left({x + y} \right)}^2}} \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = 2{x^2} + 2{y^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y = 1\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\).
Các điểm biểu diễn \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(I(0; -1)\) bán kính \(\sqrt 2 \).