Google
Câu hỏi: Tìm số phức z thỏa mãn: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\)
(Đề thi đại học năm 2009, khối B)
(Đề thi đại học năm 2009, khối B)
Phương pháp giải
Đặt \(z = x + yi\), tìm mối quan hệ của \(x, y\) và suy ra tập hợp điểm biểu diễn.
Lời giải chi tiết
Đặt \(z = x + yi\).
Ta có: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \)\(\Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left({y - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 10\)
Lại có \(z.\overline z = 25\)\(\Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left({x - yi} \right) = 25\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\2x + y = 10\end{array} \right.\)
Ta có: \(2x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - 2x\) thay vào phương trình trên ta được:
\({x^2} + {\left( {10 - 2x} \right)^2} = 25\) \(\Leftrightarrow 5{x^2} - 40x + 75 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 \Rightarrow y = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\)
Đáp số: \(z = 5\) và \(z = 3 + 4i\).
Đặt \(z = x + yi\), tìm mối quan hệ của \(x, y\) và suy ra tập hợp điểm biểu diễn.
Lời giải chi tiết
Đặt \(z = x + yi\).
Ta có: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \)\(\Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left({y - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 10\)
Lại có \(z.\overline z = 25\)\(\Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left({x - yi} \right) = 25\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\2x + y = 10\end{array} \right.\)
Ta có: \(2x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - 2x\) thay vào phương trình trên ta được:
\({x^2} + {\left( {10 - 2x} \right)^2} = 25\) \(\Leftrightarrow 5{x^2} - 40x + 75 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 \Rightarrow y = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\)
Đáp số: \(z = 5\) và \(z = 3 + 4i\).