Google
Câu hỏi: Chứng tỏ rằng \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi \(z\) là một số thực khác \(– 1\).
Phương pháp giải
Đặt \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} = a \in \mathbb{R}\), biến đổi tìm \(z\) theo \(a\) và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hiển nhiên nếu \(z \in \mathbb{R}, z \ne - 1\) thì \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} \in \mathbb{R}\)
Ngược lại, nếu \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} = a \in \mathbb{R}\) thì \(z - 1 = az + a\) và \(a \ne 1\)
Suy ra \((1 - a)z = a + 1\)\(\Rightarrow z = \dfrac{{a + 1}}{{1 - a}} \in \mathbb{R}\) và hiển nhiên \(z \ne - 1\)
Đặt \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} = a \in \mathbb{R}\), biến đổi tìm \(z\) theo \(a\) và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hiển nhiên nếu \(z \in \mathbb{R}, z \ne - 1\) thì \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} \in \mathbb{R}\)
Ngược lại, nếu \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} = a \in \mathbb{R}\) thì \(z - 1 = az + a\) và \(a \ne 1\)
Suy ra \((1 - a)z = a + 1\)\(\Rightarrow z = \dfrac{{a + 1}}{{1 - a}} \in \mathbb{R}\) và hiển nhiên \(z \ne - 1\)