Google
Câu hỏi: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân:
\(x + y + z + t \ge 4\sqrt[4]{{xyzt}}\) với \(x, y, z, t>0\)
Lời giải chi tiết
Từ \(a + b + c + d \ge 4\sqrt[4]{{abcd}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{abcd}}}}\)
Suy ra \((a + b + c + d)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}) \ge 16\)
Hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\)
Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân:
\(x + y + z + t \ge 4\sqrt[4]{{xyzt}}\) với \(x, y, z, t>0\)
Lời giải chi tiết
Từ \(a + b + c + d \ge 4\sqrt[4]{{abcd}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{abcd}}}}\)
Suy ra \((a + b + c + d)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}) \ge 16\)
Hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + d}}\)
