Google
Câu hỏi: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
Phương pháp giải
Chuyển vế và khai triển dựa vào hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
\(\Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) - {y^3}\left({x - y} \right) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{x^2} + 2. X.\frac{y}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {(x - y)^2}({(x + \dfrac{y}{2})^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4})\) (đúng).
Chuyển vế và khai triển dựa vào hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
\(\Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) - {y^3}\left({x - y} \right) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{x^2} + 2. X.\frac{y}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {(x - y)^2}({(x + \dfrac{y}{2})^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4})\) (đúng).