Google
Câu hỏi: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} =2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\))
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(a, b\))
Suy ra
\((a + b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{ab}}} . 2\sqrt {ab} \) \(= 4.\sqrt {\frac{1}{{ab}}. Ab} = 4\)
\(\Rightarrow \left( {a + b} \right)\left({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\)
hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} =2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\))
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(a, b\))
Suy ra
\((a + b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{ab}}} . 2\sqrt {ab} \) \(= 4.\sqrt {\frac{1}{{ab}}. Ab} = 4\)
\(\Rightarrow \left( {a + b} \right)\left({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\)
hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).