Google
Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
\(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \)
\(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \)
Phương pháp giải
GTLN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng nhỏ hơn một số a nào đó: \(y \le a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm lớn nhất khi nào
GTNN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng lớn hơn một số a nào đó: \(y \ge a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm nhỏ nhất khi nào
Lời giải chi tiết
Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\).
Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x})^2} = 4 + 2\sqrt {(x - 1)(5 - x)} \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1; 5]\\{y^2} \le 4 + (x - 1) + (5 - x) = 8\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\y \le 2\sqrt 2 \end{array} \right.\forall x \in {\rm{[}}1; 5]\)
Hơn nữa : \(y = 2\) \(\Leftrightarrow (x - 1)(5 - x) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)
\(y = 2\sqrt 2 \) \(\Leftrightarrow x - 1 = 5 - x\) \(\Leftrightarrow x = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 \)khi \(x = 3\), giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi \(x = 1\) hoặc \(x = 5\).
GTLN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng nhỏ hơn một số a nào đó: \(y \le a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm lớn nhất khi nào
GTNN: Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng lớn hơn một số a nào đó: \(y \ge a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm nhỏ nhất khi nào
Lời giải chi tiết
Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\).
Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x})^2} = 4 + 2\sqrt {(x - 1)(5 - x)} \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1; 5]\\{y^2} \le 4 + (x - 1) + (5 - x) = 8\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\y \le 2\sqrt 2 \end{array} \right.\forall x \in {\rm{[}}1; 5]\)
Hơn nữa : \(y = 2\) \(\Leftrightarrow (x - 1)(5 - x) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)
\(y = 2\sqrt 2 \) \(\Leftrightarrow x - 1 = 5 - x\) \(\Leftrightarrow x = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 \)khi \(x = 3\), giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi \(x = 1\) hoặc \(x = 5\).