Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\)
\(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\)
Phương pháp giải
Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng lớn hơn một số a nào đó: \(y \ge a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm nhỏ nhất khi nào
Lời giải chi tiết
\(y = \dfrac{{4(x + 1 - x)}}{x} + \dfrac{{9(x + 1 - x)}}{{1 - x}}\)
=\(4 + 9 + \dfrac{{4(1 - x)}}{x} + 9.\dfrac{x}{{1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.\dfrac{{(1 - x)}}{x}. 9.\dfrac{x}{{1 - x}}} = 25\)
\(\Leftrightarrow y \ge 25,\forall x \in (0; 1)\)
Đẳng thức \(y = 25\) xảy ra khi và chỉ khi
\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4(1 - x)}}{x} = \dfrac{{9x}}{{1 - x}} = 6\\x \in (0; 1)\end{array} \right.\) hay \(x = \dfrac{2}{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = \dfrac{2}{5}\).
Khai triển biểu thức, đưa hàm về dạng lớn hơn một số a nào đó: \(y \ge a\)
Thay giá trị a vào đề bài để xác định hàm nhỏ nhất khi nào
Lời giải chi tiết
\(y = \dfrac{{4(x + 1 - x)}}{x} + \dfrac{{9(x + 1 - x)}}{{1 - x}}\)
=\(4 + 9 + \dfrac{{4(1 - x)}}{x} + 9.\dfrac{x}{{1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.\dfrac{{(1 - x)}}{x}. 9.\dfrac{x}{{1 - x}}} = 25\)
\(\Leftrightarrow y \ge 25,\forall x \in (0; 1)\)
Đẳng thức \(y = 25\) xảy ra khi và chỉ khi
\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4(1 - x)}}{x} = \dfrac{{9x}}{{1 - x}} = 6\\x \in (0; 1)\end{array} \right.\) hay \(x = \dfrac{2}{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = \dfrac{2}{5}\).