Google
Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.\)
Phương pháp giải
- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.\)
- Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất dựa vào miền nghiệm vừa xác định xong kết luận.
Lời giải chi tiết
Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge - 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:y - x = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.\) là: hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { - 3;1} \right), B\left( {3;1} \right), C\left( {5; - 1} \right), D\left( { - 5; - 1} \right).\)
\(\begin{array}{l}F\left( {3;1} \right) = 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9.\\F\left( {5; - 1} \right) = 2.5 + 3\left( { - 1} \right) = 10 - 3 = 7.\\F\left( { - 5; - 1} \right) = 2\left( { - 5} \right) + 3\left( { - 1} \right) = - 10 - 3 = - 13.\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất là \(F\left( {3;1} \right) = 9,\) giá trị nhỏ nhất là: \(F\left( { - 5; - 1} \right) = - 13.\)
- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.\)
- Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất dựa vào miền nghiệm vừa xác định xong kết luận.
Lời giải chi tiết
Miền nghiệm của bất phương trình \(d:y \ge - 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \({d_1}:y \le 1\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}:x + y = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(y - x \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_3}:y - x = 4\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.\) là: hình thang cân \(ABCD\) với \(A\left( { - 3;1} \right), B\left( {3;1} \right), C\left( {5; - 1} \right), D\left( { - 5; - 1} \right).\)
\(\begin{array}{l}F\left( {3;1} \right) = 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9.\\F\left( {5; - 1} \right) = 2.5 + 3\left( { - 1} \right) = 10 - 3 = 7.\\F\left( { - 5; - 1} \right) = 2\left( { - 5} \right) + 3\left( { - 1} \right) = - 10 - 3 = - 13.\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất là \(F\left( {3;1} \right) = 9,\) giá trị nhỏ nhất là: \(F\left( { - 5; - 1} \right) = - 13.\)