Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I\left( 1;-2;4 \right)$. Gọi $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ là hai mặt cầu có cùng tâm $I$, bán kính lần lượt là ${{R}_{1}}=3$ và ${{R}_{2}}=\sqrt{33}$. Xét điểm $A$ di động trên $\left( {{S}_{1}} \right)$ và ba điểm $B$, $C$, $D$ di động trên $\left( {{S}_{2}} \right)$ sao cho $AB$, $AC$, $AD$ đôi một vuông góc. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện bằng
A. $36\sqrt{3}$.
B. $16\sqrt{3}$.
C. $12\sqrt{3}$.
D. $48\sqrt{3}$.
A. $36\sqrt{3}$.
B. $16\sqrt{3}$.
C. $12\sqrt{3}$.
D. $48\sqrt{3}$.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( a,0,0 \right)$, $C\left( 0,b,0 \right)$, $D\left( 0;0;c \right)$ ( Để đảm bảo $A.BCD$ là một tứ diện vuông tại $A$ ) và $I\left( x,y,z \right)$ khi đó, từ giả thiết $IA={{R}_{1}}=3$, $IB=Ic=ID={{R}_{2}}=\sqrt{33}$ ta có hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=33 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=33 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=33 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=\dfrac{a}{2}-\dfrac{12}{a};y=\dfrac{b}{2}-\dfrac{12}{b};z=\dfrac{c}{2}-\dfrac{12}{c}$
$\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{2}-\dfrac{12}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-\dfrac{12}{b} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{2}-\dfrac{12}{c} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+144\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)=45$
Ta có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}\left| abc \right|=t,\left( t>0 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}=36{{t}^{2}}$
Dùng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}=3\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}$
$\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}}$
$\Rightarrow 45\ge \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}+\dfrac{144.3}{\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}}\Rightarrow 4\sqrt{3}\le t\le 32\sqrt{3}\Rightarrow {{t}_{\max }}+{{t}_{\min }}=36\sqrt{3}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=33 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=33 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=33 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=\dfrac{a}{2}-\dfrac{12}{a};y=\dfrac{b}{2}-\dfrac{12}{b};z=\dfrac{c}{2}-\dfrac{12}{c}$
$\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{2}-\dfrac{12}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-\dfrac{12}{b} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{2}-\dfrac{12}{c} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+144\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)=45$
Ta có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}\left| abc \right|=t,\left( t>0 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}=36{{t}^{2}}$
Dùng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}=3\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}$
$\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}}$
$\Rightarrow 45\ge \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}+\dfrac{144.3}{\sqrt[3]{36{{t}^{2}}}}\Rightarrow 4\sqrt{3}\le t\le 32\sqrt{3}\Rightarrow {{t}_{\max }}+{{t}_{\min }}=36\sqrt{3}$.
Đáp án A.
