Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 4;-2;4 \right),B\left( -2;6;4 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ M $ là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}=90{}^\circ $ và $ N $ là điểm di động thuộc $ d. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ MN.$
A. $5\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{73}$.
C. $8$.
D. $2$.
$\left( Oxy \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
$d$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 0;0;1 \right)$. Nên $d\bot \left( Oxy \right)$.
Gọi $P=d\cap \left( Oxy \right)\Rightarrow P\left( 5;-1;0 \right)$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow I\left( 1;2;4 \right)$.
$\widehat{AMB}=90{}^\circ $ $\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$, bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{8}^{2}}+{{0}^{2}}}}{2}=5.$
Mà $M\in \left( Oxy \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ $\Rightarrow H\left( 1;2;0 \right)$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H\left( 1;2;0 \right)$, bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{25-16}=3$.
Ta có: $MN\ge MP\ge HP-r=\sqrt{16+9}-3=2$.
Vậy $M{{N}_{\min }}=2$.
Dấu “=” xảy ra khi $N\equiv P$ và $H,M,P$ thẳng hàng ( $M$ nằm giữa $H,P$ ).
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ M $ là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}=90{}^\circ $ và $ N $ là điểm di động thuộc $ d. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ MN.$
A. $5\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{73}$.
C. $8$.
D. $2$.
$d$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 0;0;1 \right)$. Nên $d\bot \left( Oxy \right)$.
Gọi $P=d\cap \left( Oxy \right)\Rightarrow P\left( 5;-1;0 \right)$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow I\left( 1;2;4 \right)$.
$\widehat{AMB}=90{}^\circ $ $\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$, bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{8}^{2}}+{{0}^{2}}}}{2}=5.$
Mà $M\in \left( Oxy \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ $\Rightarrow H\left( 1;2;0 \right)$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H\left( 1;2;0 \right)$, bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{25-16}=3$.
Ta có: $MN\ge MP\ge HP-r=\sqrt{16+9}-3=2$.
Vậy $M{{N}_{\min }}=2$.
Dấu “=” xảy ra khi $N\equiv P$ và $H,M,P$ thẳng hàng ( $M$ nằm giữa $H,P$ ).
Đáp án D.
