Câu hỏi: Cho hai đường thẳng d:
Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
Phương pháp giải
Nhận xét: Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Lời giải chi tiết
Hình 3.32
Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ; 7) có vecto chỉ phương
Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương
Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B(-2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó:
Ta có:
Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
Ta có:
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Chú ý:
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là là
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó:
Phương trình của (Q) là :
Để tìm
Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa
Khi đó:
Phương trình của (R) là
Suy ra
Nhận xét: Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Lời giải chi tiết
Hình 3.32
Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ; 7) có vecto chỉ phương
Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương
Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B(-2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó:
Ta có:
Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
Ta có:
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Chú ý:
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là là
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó:
Phương trình của (Q) là :
Để tìm
Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa
Khi đó:
Phương trình của (R) là
Suy ra