Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).
Phương pháp giải
Áp dụng công thức trung tuyến:
$\begin{array}{l}
m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\
m_b^2 = \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\
m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}
\end{array}$
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\\
\Leftrightarrow 5.\left({\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 5.\frac{{2\left({{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left({{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} + \frac{{2\left({{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 10\left({{b^2} + {c^2}} \right) - 5{a^2}\\
= 2\left({{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2} + 2\left({{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\
\Leftrightarrow 10{b^2} + 10{c^2} - 5{a^2}\\
= 2{c^2} + 2{a^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}\\
\Leftrightarrow 9{b^2} + 9{c^2} - 9{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).
Áp dụng công thức trung tuyến:
$\begin{array}{l}
m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\
m_b^2 = \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\
m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}
\end{array}$
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\\
\Leftrightarrow 5.\left({\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 5.\frac{{2\left({{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left({{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} + \frac{{2\left({{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 10\left({{b^2} + {c^2}} \right) - 5{a^2}\\
= 2\left({{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2} + 2\left({{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\
\Leftrightarrow 10{b^2} + 10{c^2} - 5{a^2}\\
= 2{c^2} + 2{a^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}\\
\Leftrightarrow 9{b^2} + 9{c^2} - 9{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).