Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức trung tuyến tính AO trong tam giác ABD.
Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đường chéo và các cạnh trong hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo hình bình hành).
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\cr
& \Rightarrow 4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left({2AO} \right)^2} = 2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr&\Leftrightarrow A{C^2} = 2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr& \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) \cr} \)
Mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AD=BC. Do đó,
\(\begin{array}{l}
2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) = 2A{B^2} + 2A{D^2}\\
= A{B^2} + A{B^2} + A{D^2} + A{D^2}\\
= A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}
\end{array}\)
Vậy \(A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}\)
Sử dụng công thức trung tuyến tính AO trong tam giác ABD.
Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đường chéo và các cạnh trong hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo hình bình hành).
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\cr
& \Rightarrow 4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left({2AO} \right)^2} = 2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr&\Leftrightarrow A{C^2} = 2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr& \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) \cr} \)
Mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AD=BC. Do đó,
\(\begin{array}{l}
2\left({A{B^2} + A{D^2}} \right) = 2A{B^2} + 2A{D^2}\\
= A{B^2} + A{B^2} + A{D^2} + A{D^2}\\
= A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}
\end{array}\)
Vậy \(A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}\)