Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.
Phương pháp giải
Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)
Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R. 2ab}}\\ \Leftrightarrow a. 2R. 2ab = 2R. 2b\left({{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)
Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R. 2ab}}\\ \Leftrightarrow a. 2R. 2ab = 2R. 2b\left({{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)
Vậy tam giác ABC cân tại A.