Google
Câu hỏi: Gọi \(S\) là diện tích và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\).
Phương pháp giải
Sử dụng định lí sin để tính a, b, c:
$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Thay vào công thức tính diện tích tam giác $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = 2R\\
\frac{b}{{\sin B}} = 2R\\
\frac{c}{{\sin C}} = 2R
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2R\sin A\\
b = 2R\sin B\\
c = 2R\sin C
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thay vào công thức tính diện tích tam giác \(ABC\) .
Ta có
\(\eqalign{
& S = {{abc} \over {4R}} \cr&= {{(2R\sin A).(2R\sin B).(2R\sin C)} \over {4R}} \cr
& = \frac{{8{R^3}\sin A\sin B\sin C}}{{4R}}\cr&= 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \)
Sử dụng định lí sin để tính a, b, c:
$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Thay vào công thức tính diện tích tam giác $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{\sin A}} = 2R\\
\frac{b}{{\sin B}} = 2R\\
\frac{c}{{\sin C}} = 2R
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2R\sin A\\
b = 2R\sin B\\
c = 2R\sin C
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thay vào công thức tính diện tích tam giác \(ABC\) .
Ta có
\(\eqalign{
& S = {{abc} \over {4R}} \cr&= {{(2R\sin A).(2R\sin B).(2R\sin C)} \over {4R}} \cr
& = \frac{{8{R^3}\sin A\sin B\sin C}}{{4R}}\cr&= 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \)