Google
Câu hỏi: Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Lời giải chi tiết
Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x. Q\) và \(z = y. Q = x. Q^2\).
Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:
\(x + 3z = 2.2y \)
\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)
\(\Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)
\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)
Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)
Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Cách khác:
Gọi công bội của CSN x; y ; z là q.
⇒ y = x. Q ; z = x. Q2.
Lại có : x; 2y; 3z lập thành CSC
⇔ 2y – x = 3z – 2y
⇔ 2. Xq – x = 3. Xq2 – 2. Xq
⇔ x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q)
⇔ x.(3q2 – 4q + 1) = 0
+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0
⇒ q không xác định (loại).
+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q2 – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc \(q = \frac{1}{3}\)
Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc \(q = \frac{1}{3}\)
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Lời giải chi tiết
Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x. Q\) và \(z = y. Q = x. Q^2\).
Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:
\(x + 3z = 2.2y \)
\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)
\(\Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)
\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)
Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)
Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Cách khác:
Gọi công bội của CSN x; y ; z là q.
⇒ y = x. Q ; z = x. Q2.
Lại có : x; 2y; 3z lập thành CSC
⇔ 2y – x = 3z – 2y
⇔ 2. Xq – x = 3. Xq2 – 2. Xq
⇔ x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q)
⇔ x.(3q2 – 4q + 1) = 0
+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0
⇒ q không xác định (loại).
+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q2 – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc \(q = \frac{1}{3}\)
Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc \(q = \frac{1}{3}\)