Google
Câu hỏi: Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Phương pháp giải
Cho \(u_1\) là số hạng đầu của CSC và \(d\) là công sai của CSC đó, ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = d = const\)
Lời giải chi tiết
Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {d_1}\\{v_{n + 1}} - {v_n} = {d_2}\end{array} \right.\)
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)
= d1 + d2 = const
Vậy \((a_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(a_1=u_1+v_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)
Ví dụ:
\(1,3,5,7 ,...\) là cấp số cộng có \(u_1=1\) và \(d_1= 2\)
\(0,5,10,15,...\) là cấp số cộng có \(v_1=0\) và \(d_2= 5\)
\(⇒ (a_n):1,8,15,22 ,...\) là cấp số cộng có \(a_1=1+0=1\) và \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).
Cho \(u_1\) là số hạng đầu của CSC và \(d\) là công sai của CSC đó, ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = d = const\)
Lời giải chi tiết
Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {d_1}\\{v_{n + 1}} - {v_n} = {d_2}\end{array} \right.\)
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)
= d1 + d2 = const
Vậy \((a_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(a_1=u_1+v_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)
Ví dụ:
\(1,3,5,7 ,...\) là cấp số cộng có \(u_1=1\) và \(d_1= 2\)
\(0,5,10,15,...\) là cấp số cộng có \(v_1=0\) và \(d_2= 5\)
\(⇒ (a_n):1,8,15,22 ,...\) là cấp số cộng có \(a_1=1+0=1\) và \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).