Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: \(x + z = 2y\).
Lời giải chi tiết
Ta phải chứng minh: \(\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \)
Thật vậy,
\(\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left({a - b} \right)\left({a + b} \right) = \left({b + c} \right)\left({b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)
(đúng do \(a^2, b^2, c^2\) lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.
Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: \(x + z = 2y\).
Lời giải chi tiết
Ta phải chứng minh: \(\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \)
Thật vậy,
\(\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left({a - b} \right)\left({a + b} \right) = \left({b + c} \right)\left({b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)
(đúng do \(a^2, b^2, c^2\) lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.