Bài 7 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:

Câu a​

\({u_n} = n + {1 \over n}\)
Phương pháp giải:
*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).
Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.
Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.
*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M \forall n \in {N^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m \forall n \in {N^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M, m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M \forall n \in {N^*}\).
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left({n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left({n + \frac{1}{n}} \right)\\
= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\
= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\
= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left({n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left({n + 1} \right)}} > 0 \forall n \in {N^*}
\end{array}\)
Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.
Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Câu b​

\({u_n} = {( - 1)^{n-1}}\sin {1 \over n}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0\)
\(\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {(- 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)
\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)
Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1 \)\(\Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1\)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.
Cách khác:
Với \(n \ge 1\) thì $0 < \dfrac{1}{n} < 1 < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \dfrac{1}{n} > 0,\forall n$
Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ
⇒ (-1)n – 1​ = -1 ⇒ un​ < 0
Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn
⇒ (-1)n – 1​ = 1 ⇒ un​ > 0.
⇒ u1​ > u2​ < u3​ > u4​ < u5​ > u6 ​…
⇒ (un​) không tăng không giảm.

Câu c​

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  \) \(= \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left({\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr 
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)
⇒ un ​là dãy số giảm.
Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow\) un​ là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)
\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.