Google
Câu hỏi: Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\).
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le \frac{3}{3} \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le 1 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} \ge 2 - 1 \Leftrightarrow {u_n} \ge 1\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le \frac{3}{3} \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le 1 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} \ge 2 - 1 \Leftrightarrow {u_n} \ge 1\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.