Google
Câu hỏi: Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right.\);
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right.\);
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 72\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{72}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = 2 \Leftrightarrow q\left( {{q^2} - 1} \right) = 2\left( {{q^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {q^3} - q = 2{q^2} + 2 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} - q - 2 = 0 \Leftrightarrow q \approx 2,66\) thế vào (1) ta được \({u_1} \approx 3,36\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} \approx 3,36\) và công bội \(q \approx 2,66\).
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 72\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{72}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = 2 \Leftrightarrow q\left( {{q^2} - 1} \right) = 2\left( {{q^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {q^3} - q = 2{q^2} + 2 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} - q - 2 = 0 \Leftrightarrow q \approx 2,66\) thế vào (1) ta được \({u_1} \approx 3,36\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} \approx 3,36\) và công bội \(q \approx 2,66\).