Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số: ( là tham số) có đồ thị

Câu a​

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Phương pháp giải:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình
Lời giải chi tiết:
 
Tập xác định:
Ta có:

+) Với thì có một nghiệm và đổi dấu sang khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là
+) Với phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.

Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là và có một điểm cực tiểu là .

Câu b​

b) Với giá trị nào của m thì  cắt trục hoành?
Phương pháp giải:
cắt trục hoành phương trình có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm với mọi m nên  luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên :

(Cm​) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ 
Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)
- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; 
Ta có bảng biến thiên :

(Cm​) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)2​ ≥ 0
Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (Cm​) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.

Câu c​

c) Xác định m để  có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu   phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với thì đồ thị  có cực đại và cực tiểu.