Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Hãy so sánh các kết quả sau đây:

Câu a​

\(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \) (không dùng bảng số hoặc máy tính)
Lời giải chi tiết:
Giả sử: \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} < \sqrt {2002}  + \sqrt {2003} (1)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& (1)\cr & \Leftrightarrow {(\sqrt {2000} + \sqrt {2005})^2} < {(\sqrt {2002} + \sqrt {2003})^2} \cr 
&  \Leftrightarrow 2000 + 2\sqrt {2000.2005}  + 2005 \cr &< 2002 + 2\sqrt {2002.2003}  + 2003\cr &\Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr 
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr 
& \Leftrightarrow 2000.2005 < (2000 + 2)(2005 - 2) \cr 
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \)
Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.
Do đó: \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005}  < \sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \)

Câu b​

\(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a  + \sqrt {a + 6} (a \ge 0)\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử:
\(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} ≤  \sqrt a  + \sqrt {a + 6} (a \ge 0)\) (2)
Ta có:
\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow {(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4})^2} \le {(\sqrt a + \sqrt {a + 6})^2} \cr 
& \Leftrightarrow a + 2 + 2\sqrt {\left({a + 2} \right)\left({a + 4} \right)}  + a + 4 \cr &\le  a + 2\sqrt {a\left({a + 6} \right)}  + a + 6\cr &\Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {(a + 2)(a + 4)}\cr& \le 2a + 6 + 2\sqrt {a(a + 6)} \cr 
& \Leftrightarrow (a + 2)(a + 4) \le a(a + 6) \cr 
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr 
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \)
Ta thấy : \(8 ≤ 0\) là vô lý
Vậy  \(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4}  > \sqrt a  + \sqrt {a + 6} (a \ge 0)\)