Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + {2 \over {x - 1}}\) với x > 1.
Phương pháp giải
Thêm bớt 1 và áp dụng bđt Cô si cho hai số dương x-1 và \({2 \over {x - 1}}\).
Lời giải chi tiết
Vì x > 1 nên x – 1 và \({2 \over {x - 1}}\) là hai số dương.
Do đó:
\(f(x) = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + (x - 1) + {2 \over {x - 1}} \) \(\ge 1 + 2\sqrt {(x - 1){2 \over {x - 1}}} = 1 + 2\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = {2 \over {x - 1}} \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là \(1 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = 1 + \sqrt 2 \).
Thêm bớt 1 và áp dụng bđt Cô si cho hai số dương x-1 và \({2 \over {x - 1}}\).
Lời giải chi tiết
Vì x > 1 nên x – 1 và \({2 \over {x - 1}}\) là hai số dương.
Do đó:
\(f(x) = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + (x - 1) + {2 \over {x - 1}} \) \(\ge 1 + 2\sqrt {(x - 1){2 \over {x - 1}}} = 1 + 2\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = {2 \over {x - 1}} \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là \(1 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = 1 + \sqrt 2 \).