Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Phương pháp giải
Biến đổi tương đương bđt đưa về bđt luôn đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
⇔ (a2 - 2ab + b2 )+ (b2 - 2bc + c2 )+ (c2 - 2ca + a2 )≥ 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (luôn đúng do (a – b)2 ≥ 0, (b – c)2 ≥ 0, (c – a)2 ≥ 0).
Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
Dấu = xảy ra khi
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left({a - b} \right)^2} = 0\\
{\left({b - c} \right)^2} = 0\\
{\left({c - a} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Biến đổi tương đương bđt đưa về bđt luôn đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
⇔ (a2 - 2ab + b2 )+ (b2 - 2bc + c2 )+ (c2 - 2ca + a2 )≥ 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (luôn đúng do (a – b)2 ≥ 0, (b – c)2 ≥ 0, (c – a)2 ≥ 0).
Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
Dấu = xảy ra khi
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left({a - b} \right)^2} = 0\\
{\left({b - c} \right)^2} = 0\\
{\left({c - a} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)