Một người thợ gò làm một cái hòm dạng hình hộp chữ nhật có nắp...

Gọi $a,b,c\left( a>0,b>0,c>0 \right)$ là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. Không mất tính tổng quát $0<c\le b\le a.$
Theo bài ra $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=3\sqrt{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=18\left( 1 \right).$
Diện tích toàn phần của khối hộp là $2ab+2bc+2ca=18\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta có ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca=36\Rightarrow a+b+c=6\left( 3 \right).$
Từ $\left( 3 \right),\left( 2 \right)$ ta có: $ab+c\left( 6-c \right)=9\Rightarrow ab=9+{{c}^{2}}-6c.$
Thể tích của cái hòm $V=abc=\left( {{c}^{2}}-6c+9 \right)c={{c}^{3}}-6{{c}^{2}}+9c,\left( 0<c<\sqrt{6} \right).$
Đặt $h\left( c \right)={{c}^{3}}-6{{c}^{2}}+9c\Rightarrow {h}'\left( c \right)=3{{c}^{2}}-12c+9\Rightarrow {h}'\left( c \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=1 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right..$
Thể tích lớn nhất bằng $4d{{m}^{3}}$ khi $c=1,a=4,b=1.$