Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Phương pháp giải
Sử dụng bđt tam giác: Tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba.
Kết hợp tính chất nhân cả hai vế của bđt với một số dương thì bđt không đổi chiều.
Lời giải chi tiết
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên
\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left({b + c} \right) \cr &\Rightarrow {a^2} < ab + ac (1) \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < b(a+c) \cr &\Rightarrow {b^2} <ba + bc (2) \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < c(a+b)\cr & \Rightarrow {c^2} < ca + cb (3)\cr} \)
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + ac + ba + bc + ca + cb\) \(\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
Sử dụng bđt tam giác: Tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba.
Kết hợp tính chất nhân cả hai vế của bđt với một số dương thì bđt không đổi chiều.
Lời giải chi tiết
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên
\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left({b + c} \right) \cr &\Rightarrow {a^2} < ab + ac (1) \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < b(a+c) \cr &\Rightarrow {b^2} <ba + bc (2) \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < c(a+b)\cr & \Rightarrow {c^2} < ca + cb (3)\cr} \)
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + ac + ba + bc + ca + cb\) \(\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)