Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?
Lời giải chi tiết
Ta có a3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ (a+ b).(a2 – ab + b2 ) – ab (a+ b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a2 - ab + b2 – ab) ≥ 0
⇔ (a + b)(a2 - 2ab + b2) ≥ 0
⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 (*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a+b ≥ 0 và (a- b)2 ≥ 0
=> Bất đẳng thức a3 + b3 ≥ ab(a + b) luôn đúng với a ≥ 0; b ≥ 0
*Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)
Ta có a3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ (a+ b).(a2 – ab + b2 ) – ab (a+ b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a2 - ab + b2 – ab) ≥ 0
⇔ (a + b)(a2 - 2ab + b2) ≥ 0
⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 (*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a+b ≥ 0 và (a- b)2 ≥ 0
=> Bất đẳng thức a3 + b3 ≥ ab(a + b) luôn đúng với a ≥ 0; b ≥ 0
*Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)