Google
Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} \)
\(A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} \)
Phương pháp giải
Bình phương biểu thức A, từ đó đánh giá GTLN dựa vào bđt Cô si \(2\sqrt {ab} \le a + b\) và GTNN dựa vào tính chất căn bậc hai \(\sqrt P \ge 0\).
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)
Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:
\({A^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x})^2} \)
\(= 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \) \(\le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\)
(Theo bất đẳng thức Cô-si)
Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)
Dấu “=” xảy ra khi \(x – 1= 4 – x \) \(\Rightarrow x = {5 \over 2}\) (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \) đạt được khi \(x = {5 \over 2}\).
\({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 3\)
vì \(\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 0\)
Vậy \(A \ge \sqrt 3 \) đạt được khi x=1 hoặc x=4.
Bình phương biểu thức A, từ đó đánh giá GTLN dựa vào bđt Cô si \(2\sqrt {ab} \le a + b\) và GTNN dựa vào tính chất căn bậc hai \(\sqrt P \ge 0\).
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)
Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:
\({A^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x})^2} \)
\(= 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \) \(\le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\)
(Theo bất đẳng thức Cô-si)
Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)
Dấu “=” xảy ra khi \(x – 1= 4 – x \) \(\Rightarrow x = {5 \over 2}\) (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \) đạt được khi \(x = {5 \over 2}\).
\({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 3\)
vì \(\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 0\)
Vậy \(A \ge \sqrt 3 \) đạt được khi x=1 hoặc x=4.