Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\ln ^3 x+6(m-1) \ln ^2 x-3 m^2 \ln x+4$. Biết rằng đoạn [a, b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(e,+\infty)$. Giá trị biểu thức $a+3 b$ bẳng
A. $4+\sqrt{6}$.
B. $12+2 \sqrt{6}$.
C. $12+3 \sqrt{6}$.
D. $12-2 \sqrt{6}$.
A. $4+\sqrt{6}$.
B. $12+2 \sqrt{6}$.
C. $12+3 \sqrt{6}$.
D. $12-2 \sqrt{6}$.
Đặt $t=\ln x$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $x \in(e,+\infty) \rightarrow t \in(1 ;+\infty)$.
Xét hàm số $g(t)=t^3+6(m-1) t^2-3 m^2 t+4$ trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Ta có: $g^{\prime}(t)=3 t^2+12(m-1) t-3 m^2$ và $\lim _{t \rightarrow+\infty} g(t)=+\infty$
Hàm số $y=|g(t)|$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(t) \geq 0, \forall t \in[1 ;+\infty)(1) \\ g(1) \geq 0\end{array}\right.$
$+(2) \Rightarrow-3 m^2+6 m-1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{6}}{3} \leq m \leq \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$
$+\Delta_{g^{\prime}}=36(m-1)^2+9 m^2>0, \forall m \rightarrow g^{\prime}(t)$ luôn có 2 nghiệm $t_1, t_2$
$\begin{aligned}
& \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
{{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \dfrac{1}{2} \\
1\le m\le 3 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right. \\
\end{aligned}$
Kết hơp (1) và (2) ta được $m \in\left[1 ; \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\right] \Rightarrow a=1 ; b=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $a+3 b=4+\sqrt{6}$.
Xét hàm số $g(t)=t^3+6(m-1) t^2-3 m^2 t+4$ trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Ta có: $g^{\prime}(t)=3 t^2+12(m-1) t-3 m^2$ và $\lim _{t \rightarrow+\infty} g(t)=+\infty$
Hàm số $y=|g(t)|$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(t) \geq 0, \forall t \in[1 ;+\infty)(1) \\ g(1) \geq 0\end{array}\right.$
$+(2) \Rightarrow-3 m^2+6 m-1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{6}}{3} \leq m \leq \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$
$+\Delta_{g^{\prime}}=36(m-1)^2+9 m^2>0, \forall m \rightarrow g^{\prime}(t)$ luôn có 2 nghiệm $t_1, t_2$
& \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2m-1\ge 0 \\
{{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \dfrac{1}{2} \\
1\le m\le 3 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right. \\
\end{aligned}$
Kết hơp (1) và (2) ta được $m \in\left[1 ; \dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\right] \Rightarrow a=1 ; b=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $a+3 b=4+\sqrt{6}$.
Đáp án A.