Google
Câu hỏi: Giải các phương trình sau:
Phương pháp giải:
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\)
Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\)
Phương trình trở thành:
\(\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \)
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \({\log _{\frac{1}{2}}}x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}}; 2\} \)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0
\(\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{. 3^2} = 0\cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \)
Chia hai vế phương trình 4logx ta được:
\(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\)
Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}} (t > 0)\) ta có phương trình:
\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2} (loai) \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \)
{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0; y > 0
\(\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2} (1) \cr
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3} (2) \cr} \)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = {1 \over 6}, y=-{2 \over 3}(loai) \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2, {1 \over 6}){\rm{\} }}\)
Câu a
\({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\)Phương pháp giải:
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\)
Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\)
Phương trình trở thành:
\(\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \)
Câu b
\({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\)Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \({\log _{\frac{1}{2}}}x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}}; 2\} \)
Câu c
\({4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\)Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0
\(\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{. 3^2} = 0\cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \)
Chia hai vế phương trình 4logx ta được:
\(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\)
Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}} (t > 0)\) ta có phương trình:
\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2} (loai) \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \)
Câu d
\(\left\{ \matrix{{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0; y > 0
\(\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2} (1) \cr
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3} (2) \cr} \)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = {1 \over 6}, y=-{2 \over 3}(loai) \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2, {1 \over 6}){\rm{\} }}\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!