Google
Câu hỏi:
Phương pháp giải:
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\). Sử dụng tính chất: \(w + \overline w = 2a\) để suy ra phần thực của w.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\)
Với \(z ≠ 1\)
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\) ta có:
\(\eqalign{
& w+\overline w={{z + 1} \over {z - 1}} + \overline {({{z + 1} \over {z - 1}})}\cr & = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{{1 \over z} + 1} \over {{1 \over z} - 1}} \cr &= {{z + 1} \over {z - 1}} + {{1 + z} \over {1 - z}} = 0 \cr} \)
Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.
Cách khác:
Giả sử z=a+bi với a2+b2=1 và a+bi ≠ 1.
Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Nếu w là số ảo thì \(w + \overline w = 0\) hay \(w =- \overline w \)
Lời giải chi tiết:
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\).
Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì
\(w = - \overline w \Leftrightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = - \overline {\left( {\frac{{z + 1}}{{z - 1}}} \right)} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr
& \Leftrightarrow z.\overline z + \overline z - z - 1 = \overline z + 1 - z.\overline z - z\cr & \Leftrightarrow 2z\overline z = 2\cr &\Leftrightarrow z.\overline z = 1 \cr} \)
\(\Rightarrow \left| z \right|.\left| {\overline z } \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
Vậy |z| = 1.
Cách khác:
Theo câu a, ta có: \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} - \frac{{2b}}{{{{\left({a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}i\)
Nên (z+1)/(z-1) là số ảo thì a2+b2-1=0 <=> a2+b2=1 <=> |z| = 1 (đpcm)
Câu a
Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1Phương pháp giải:
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\). Sử dụng tính chất: \(w + \overline w = 2a\) để suy ra phần thực của w.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\)
Với \(z ≠ 1\)
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\) ta có:
\(\eqalign{
& w+\overline w={{z + 1} \over {z - 1}} + \overline {({{z + 1} \over {z - 1}})}\cr & = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{{1 \over z} + 1} \over {{1 \over z} - 1}} \cr &= {{z + 1} \over {z - 1}} + {{1 + z} \over {1 - z}} = 0 \cr} \)
Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.
Cách khác:
Giả sử z=a+bi với a2+b2=1 và a+bi ≠ 1.
Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.
Câu b
Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1.Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Nếu w là số ảo thì \(w + \overline w = 0\) hay \(w =- \overline w \)
Lời giải chi tiết:
Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\).
Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì
\(w = - \overline w \Leftrightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = - \overline {\left( {\frac{{z + 1}}{{z - 1}}} \right)} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr
& \Leftrightarrow z.\overline z + \overline z - z - 1 = \overline z + 1 - z.\overline z - z\cr & \Leftrightarrow 2z\overline z = 2\cr &\Leftrightarrow z.\overline z = 1 \cr} \)
\(\Rightarrow \left| z \right|.\left| {\overline z } \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
Vậy |z| = 1.
Cách khác:
Theo câu a, ta có: \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} - \frac{{2b}}{{{{\left({a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}i\)
Nên (z+1)/(z-1) là số ảo thì a2+b2-1=0 <=> a2+b2=1 <=> |z| = 1 (đpcm)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!