Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=1$, $\left| z+w \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z w+2 i(z+w)-4|$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1+5\sqrt{2}}{4}$.
C. $5-2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{5}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1+5\sqrt{2}}{4}$.
C. $5-2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{5}$.
Ta có $\left| z+w \right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow 2={{\left| z+w \right|}^{2}}$ $=\left( z+w \right)\left( \overline{z}+\overline{w} \right)$ $={{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}}+z\overline{w}+\overline{z}w$
$\Rightarrow z\overline{w}+\overline{z}w=0$ $\Rightarrow z\overline{w}$ là số thuần ảo. Hay $z\overline{w}=ki$, $k\in \mathbb{R}$. Do đó, $z=\dfrac{ki}{\overline{w}}$.
Mặt khác, $\left| z+w \right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \left| \dfrac{ki}{\overline{w}}+w \right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \left| ki+w\overline{w} \right|=\sqrt{2}\left| \overline{w} \right|$ $\Rightarrow \left| ki+1 \right|=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \sqrt{{{k}^{2}}+1}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow k=\pm 1$.
Vậy $z=\pm \dfrac{i}{\overline{w}}$. Do vai trò bình đẳng của $z$ và $w$ nên ta chỉ cần xét trường hợp $z=\dfrac{i}{\overline{w}}$.
Khi đó
$P=\left|i w^{2}+(2 i-2) w-4\right|=\left|w^{2}+(2+2 i) w+4 i\right|=\left|(w+1+i)^{2}+2 i\right|$.
Đặt $u=w+1+i \Rightarrow w=u-1-i \Rightarrow|w|=|u-1-i|=1$ và ${{z}_{0}}=-1-i$.
Ta có ${{P}^{2}}={{\left| {{u}^{2}}+2i \right|}^{2}}={{\left| {{u}^{2}}+z_{0}^{2} \right|}^{2}}$ $=\left( {{u}^{2}}+z_{0}^{2} \right)\left( {{{\bar{u}}}^{2}}+\bar{z}_{0}^{2} \right)$
$=|u{{|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( u\cdot {{{\bar{z}}}_{0}}+{{z}_{0}}\cdot \bar{u} \right)}^{2}}-2{{\left| u.{{z}_{0}} \right|}^{2}}$
$P^{2}=\left|u^{2}+2 i\right|^{2}=\left|u^{2}+z_{0}^{2}\right|^{2}=\left(u^{2}+z_{0}^{2}\right)\left(\bar{u}^{2}+\bar{z}_{0}^{2}\right)=|u|^{4}+\left|z_{0}\right|^{4}+\left(u \cdot \bar{z}_{0}+z_{0} \cdot \bar{u}\right)^{2}-2\left|u . z_{0}\right|^{2}=|u|^{4}-4|u|^{2}+4+\left(u . \overline{z_{0}}+z_{0} \cdot \bar{u}\right)^{2}$.
Mà $\left( u+{{z}_{0}} \right)\left( \bar{u}+\overline{{{z}_{0}}} \right)={{\left| u+{{z}_{0}} \right|}^{2}}=1$ $\left(u+z_{0}\right)\left(\bar{u}+\overline{z_{0}}\right)=\left|u+z_{0}\right|^{2}=1 \Rightarrow u \cdot \overline{z_{0}}+z_{0} \cdot \bar{u}=1-|u|^{2}-\left|z_{0}\right|^{2}=-|u|^{2}-1$.
Suy ra
${{P}^{2}}=|u{{|}^{4}}-4|u{{|}^{2}}+4+{{\left( |u{{|}^{2}}+1 \right)}^{2}}$ $=2|u{{|}^{4}}-2|u{{|}^{2}}+5$ $=2{{\left( |u{{|}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}\ge \dfrac{9}{2}$
$P^2=|u|^{4}-4|u|^{2}+4+\left(|u|^{2}+1\right)^{2}=2|u|^{4}-2|u|^{2}+5=2\left(|u|^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{9}{2} \geq \dfrac{9}{2} \Rightarrow P \geq \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow z\overline{w}+\overline{z}w=0$ $\Rightarrow z\overline{w}$ là số thuần ảo. Hay $z\overline{w}=ki$, $k\in \mathbb{R}$. Do đó, $z=\dfrac{ki}{\overline{w}}$.
Mặt khác, $\left| z+w \right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \left| \dfrac{ki}{\overline{w}}+w \right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \left| ki+w\overline{w} \right|=\sqrt{2}\left| \overline{w} \right|$ $\Rightarrow \left| ki+1 \right|=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \sqrt{{{k}^{2}}+1}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow k=\pm 1$.
Vậy $z=\pm \dfrac{i}{\overline{w}}$. Do vai trò bình đẳng của $z$ và $w$ nên ta chỉ cần xét trường hợp $z=\dfrac{i}{\overline{w}}$.
Khi đó
$P=\left|i w^{2}+(2 i-2) w-4\right|=\left|w^{2}+(2+2 i) w+4 i\right|=\left|(w+1+i)^{2}+2 i\right|$.
Đặt $u=w+1+i \Rightarrow w=u-1-i \Rightarrow|w|=|u-1-i|=1$ và ${{z}_{0}}=-1-i$.
Ta có ${{P}^{2}}={{\left| {{u}^{2}}+2i \right|}^{2}}={{\left| {{u}^{2}}+z_{0}^{2} \right|}^{2}}$ $=\left( {{u}^{2}}+z_{0}^{2} \right)\left( {{{\bar{u}}}^{2}}+\bar{z}_{0}^{2} \right)$
$=|u{{|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( u\cdot {{{\bar{z}}}_{0}}+{{z}_{0}}\cdot \bar{u} \right)}^{2}}-2{{\left| u.{{z}_{0}} \right|}^{2}}$
$P^{2}=\left|u^{2}+2 i\right|^{2}=\left|u^{2}+z_{0}^{2}\right|^{2}=\left(u^{2}+z_{0}^{2}\right)\left(\bar{u}^{2}+\bar{z}_{0}^{2}\right)=|u|^{4}+\left|z_{0}\right|^{4}+\left(u \cdot \bar{z}_{0}+z_{0} \cdot \bar{u}\right)^{2}-2\left|u . z_{0}\right|^{2}=|u|^{4}-4|u|^{2}+4+\left(u . \overline{z_{0}}+z_{0} \cdot \bar{u}\right)^{2}$.
Mà $\left( u+{{z}_{0}} \right)\left( \bar{u}+\overline{{{z}_{0}}} \right)={{\left| u+{{z}_{0}} \right|}^{2}}=1$ $\left(u+z_{0}\right)\left(\bar{u}+\overline{z_{0}}\right)=\left|u+z_{0}\right|^{2}=1 \Rightarrow u \cdot \overline{z_{0}}+z_{0} \cdot \bar{u}=1-|u|^{2}-\left|z_{0}\right|^{2}=-|u|^{2}-1$.
Suy ra
${{P}^{2}}=|u{{|}^{4}}-4|u{{|}^{2}}+4+{{\left( |u{{|}^{2}}+1 \right)}^{2}}$ $=2|u{{|}^{4}}-2|u{{|}^{2}}+5$ $=2{{\left( |u{{|}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}\ge \dfrac{9}{2}$
$P^2=|u|^{4}-4|u|^{2}+4+\left(|u|^{2}+1\right)^{2}=2|u|^{4}-2|u|^{2}+5=2\left(|u|^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{9}{2} \geq \dfrac{9}{2} \Rightarrow P \geq \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.
