Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$, $\left| \left( i+1 \right)w+3+7i \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+wz-4 \right|$ bằng
A. $8$.
B. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
C. $2\left( \sqrt{29}-1 \right)$.
D. $4$.
A. $8$.
B. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
C. $2\left( \sqrt{29}-1 \right)$.
D. $4$.
Ta có $\left| \left( i+1 \right)w+3+7i \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| w+5+2i \right|=1$.
Khi đó tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( -5;-2 \right)$, $R=1$.
Ta có $v=\overline{z}-z=-2bi$, do $\left| z \right|=2$ nên $-4\le -2b\le 4$, khi đó tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $v$ là đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 0;-4 \right)$, $B\left( 0;4 \right)$.
Ta có $\left| {{z}^{2}}+wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}+wz-z\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| w-\left( \overline{z}-z \right) \right|=2\left| w-\left( \overline{z}-z \right) \right|=2\left| w-v \right|=2MN$.
Do hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $AB$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $\left| d\left( I,AB \right)-R \right|=4$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+wz-4 \right|=2MN$ là $8$.
Đẳng thức xảy ra khi $w=-4-2i$ và $v=-2i\Rightarrow z=\pm 1+1i$.
Khi đó tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( -5;-2 \right)$, $R=1$.
Ta có $v=\overline{z}-z=-2bi$, do $\left| z \right|=2$ nên $-4\le -2b\le 4$, khi đó tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $v$ là đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 0;-4 \right)$, $B\left( 0;4 \right)$.
Do hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $AB$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $\left| d\left( I,AB \right)-R \right|=4$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+wz-4 \right|=2MN$ là $8$.
Đẳng thức xảy ra khi $w=-4-2i$ và $v=-2i\Rightarrow z=\pm 1+1i$.
Đáp án A.