Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z \right|=3$, $\left| iw+1-5i \right|=4$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+wz-9 \right|$ bằng
A. $3\left( 5-\sqrt{15} \right)$.
B. $2\left( \sqrt{5}-2 \right)$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $3\left( 5-\sqrt{15} \right)$.
B. $2\left( \sqrt{5}-2 \right)$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có $\left| iw+1-5i \right|=4\Leftrightarrow \left| -w+5+i \right|=4$.
Đặt $u=-w$ suy ra $\left| u+5+i \right|=4$. Do đó $u$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -5;-1 \right)$ bán kính bằng $R=4$.
Giả sử $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Vì $\left| z \right|=3$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9\Rightarrow {{b}^{2}}\le 9\Rightarrow -3\le b\le 3$.
Khi đó $T=\left| {{z}^{2}}+wz-9 \right|=\left| {{z}^{2}}+wz-z\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| z-\overline{z}+w \right|=3\left| u-2bi \right|$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $2bi$ là đoạn $AB$.
Do đó ${{T}_{\min }}=3\left( \text{d}\left( I,AB \right)-R \right)=3$.
Đặt $u=-w$ suy ra $\left| u+5+i \right|=4$. Do đó $u$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -5;-1 \right)$ bán kính bằng $R=4$.
Giả sử $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Vì $\left| z \right|=3$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9\Rightarrow {{b}^{2}}\le 9\Rightarrow -3\le b\le 3$.
Khi đó $T=\left| {{z}^{2}}+wz-9 \right|=\left| {{z}^{2}}+wz-z\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| z-\overline{z}+w \right|=3\left| u-2bi \right|$.
Do đó ${{T}_{\min }}=3\left( \text{d}\left( I,AB \right)-R \right)=3$.
Đáp án C.