Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=1$, $\left| z+w \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| w-\dfrac{4}{z}+2\left( 1+\dfrac{w}{z} \right)i \right|$ thuộc khoảng nào?
A. $\left( 4;5 \right)$.
B. $\left( 3;4 \right)$.
C. $\left( 7;8 \right)$.
D. $\left( 2;3 \right)$.
A. $\left( 4;5 \right)$.
B. $\left( 3;4 \right)$.
C. $\left( 7;8 \right)$.
D. $\left( 2;3 \right)$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là biểu diễn của $z$ và $w$ trên mặt phẳng phức $\Rightarrow OA=OB=1$
Ta có ${{\left| z+w \right|}^{2}}+{{\left| z-w \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2+{{\left| z-w \right|}^{2}}=4\Rightarrow \left| z-w \right|=\sqrt{2}\Rightarrow AB=\sqrt{2}$.
Nên tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$.
Đặt $z=\cos x+i\sin x$ và $w=\cos \left( x-\dfrac{\pi }{2} \right)+\sin \left( x-\dfrac{\pi }{2} \right)i$ hay $w=\sin x+\cos xi$. $\Rightarrow A\left( \cos x;\sin x \right)$ và $B\left( \sin x;\cos x \right)$
$P=\left| w-\dfrac{4}{z}+2\left( 1+\dfrac{w}{z} \right)i \right|=\dfrac{\left| wz-4+2iz+2wi \right|}{\left| z \right|}=\left| wz+2iz-4+2wi \right|=\left| \left( w+2i \right)\left( z+2i \right) \right|$
$P=\left| \left( w+2i \right)\left( z+2i \right) \right|=\left| w+2i \right|\left| z+2i \right|=CA.CB$ với $C\left( 0;-2 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{CA}=\left( \cos x;\sin x-2 \right) \\
\overrightarrow{CB}=\left( \sin x;\cos x-2 \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
CA=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4\sin x+5} \\
CB=\sqrt{{{\sin }^{2}}x+{{\left( \cos x+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4\cos x+5} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $P=\sqrt{4\sin x+5}\sqrt{4\cos x+5}=\sqrt{16\sin x\cos x+20\left( \sin x+\cos x \right)+25}$.
Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \\
2\sin x\cos x={{t}^{2}}-1 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $P=\sqrt{8{{t}^{2}}+20t+17}=\sqrt{8{{\left( t+\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\sin x+\cos x=\dfrac{-5}{4}$.
Ta có ${{\left| z+w \right|}^{2}}+{{\left| z-w \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2+{{\left| z-w \right|}^{2}}=4\Rightarrow \left| z-w \right|=\sqrt{2}\Rightarrow AB=\sqrt{2}$.
Nên tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$.
Đặt $z=\cos x+i\sin x$ và $w=\cos \left( x-\dfrac{\pi }{2} \right)+\sin \left( x-\dfrac{\pi }{2} \right)i$ hay $w=\sin x+\cos xi$. $\Rightarrow A\left( \cos x;\sin x \right)$ và $B\left( \sin x;\cos x \right)$
$P=\left| w-\dfrac{4}{z}+2\left( 1+\dfrac{w}{z} \right)i \right|=\dfrac{\left| wz-4+2iz+2wi \right|}{\left| z \right|}=\left| wz+2iz-4+2wi \right|=\left| \left( w+2i \right)\left( z+2i \right) \right|$
$P=\left| \left( w+2i \right)\left( z+2i \right) \right|=\left| w+2i \right|\left| z+2i \right|=CA.CB$ với $C\left( 0;-2 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{CA}=\left( \cos x;\sin x-2 \right) \\
\overrightarrow{CB}=\left( \sin x;\cos x-2 \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
CA=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4\sin x+5} \\
CB=\sqrt{{{\sin }^{2}}x+{{\left( \cos x+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4\cos x+5} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $P=\sqrt{4\sin x+5}\sqrt{4\cos x+5}=\sqrt{16\sin x\cos x+20\left( \sin x+\cos x \right)+25}$.
Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \\
2\sin x\cos x={{t}^{2}}-1 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $P=\sqrt{8{{t}^{2}}+20t+17}=\sqrt{8{{\left( t+\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\sin x+\cos x=\dfrac{-5}{4}$.
Đáp án D.