Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{\log _3 4}-2(m+2) 2^{\log _3 x}+m^2+4=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 \cdot x_2<81$ ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 7 .
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 7 .
Điều kiện: $x>0$.
Với điều kiện $x>0$ ta luôn có $x^{\log _3 4}=4^{\log _3 x}$.
Phương trình $x^{\log _3 4}-2(m+2) 2^{\log _3 x}+m^2+4=0 \Leftrightarrow 4^{\log _3 x}-2(m+2) 2^{\log _3 x}+m^2+4=0$.
Đặt $t=2^{\log _3 x}(t>0)$. Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^2-2(m+2) t+m^2+4=0(*)$.
Ta có $t=2^{\log _3 x} \Leftrightarrow \log _3 x=\log _2 t \Leftrightarrow x=3^{\log _2 t}$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $t_1, t_2$.
Ta có $x_1 x_2=3^{\log _2 t_1} \cdot 3^{\log _2 t_2}=3^{\log _2 t_1+\log _2 t_2}=3^{\log _2\left(t_{1 .} t_2\right)}$
Do đó $x_1 \cdot x_2<81 \Leftrightarrow 3^{\log _2 t_1 t_2}<81 \Leftrightarrow \log _2 t_1 t_2<4 \Leftrightarrow t_1 t_2<16$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_1, t_2$ thỏa mãn $t_1$. $t_2<16 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}>0 \\ 0<\dfrac{c}{a}<16 \\ -\dfrac{b}{a}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 m>0 \\ 0<m^2+4<16 \\ m+2>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ -\sqrt{12}<m<\sqrt{12} \\ m>-2\end{array} \Leftrightarrow 0<m<\sqrt{12}\right.\right.\right.$.
Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{1,2,3\}$.
Vậy có ba giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Với điều kiện $x>0$ ta luôn có $x^{\log _3 4}=4^{\log _3 x}$.
Phương trình $x^{\log _3 4}-2(m+2) 2^{\log _3 x}+m^2+4=0 \Leftrightarrow 4^{\log _3 x}-2(m+2) 2^{\log _3 x}+m^2+4=0$.
Đặt $t=2^{\log _3 x}(t>0)$. Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^2-2(m+2) t+m^2+4=0(*)$.
Ta có $t=2^{\log _3 x} \Leftrightarrow \log _3 x=\log _2 t \Leftrightarrow x=3^{\log _2 t}$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $t_1, t_2$.
Ta có $x_1 x_2=3^{\log _2 t_1} \cdot 3^{\log _2 t_2}=3^{\log _2 t_1+\log _2 t_2}=3^{\log _2\left(t_{1 .} t_2\right)}$
Do đó $x_1 \cdot x_2<81 \Leftrightarrow 3^{\log _2 t_1 t_2}<81 \Leftrightarrow \log _2 t_1 t_2<4 \Leftrightarrow t_1 t_2<16$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_1, t_2$ thỏa mãn $t_1$. $t_2<16 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}>0 \\ 0<\dfrac{c}{a}<16 \\ -\dfrac{b}{a}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 m>0 \\ 0<m^2+4<16 \\ m+2>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ -\sqrt{12}<m<\sqrt{12} \\ m>-2\end{array} \Leftrightarrow 0<m<\sqrt{12}\right.\right.\right.$.
Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{1,2,3\}$.
Vậy có ba giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.