Google
Câu hỏi: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x+1=2 \log _2\left(2^x+3\right)-\log _2\left(2020-2^{1-x}\right)$.
A. $\log _2 2020$.
B. 13 .
C. $\log _2 13$.
D. 2020 .
A. $\log _2 2020$.
B. 13 .
C. $\log _2 13$.
D. 2020 .
Điều kiện: $2020-2^{1-x}>0 \Leftrightarrow x>\log _2 \dfrac{1}{1010}(*)$.
$x+1=2 \log _2\left(2^x+3\right)-\log _2\left(2020-2^{1-x}\right) \Leftrightarrow x+1=\log _2\left(2^x+3\right)^2-\log _2\left(\dfrac{2020.2^x-2}{2^x}\right)$
$\Leftrightarrow \log _2 \dfrac{\left(2^x+3\right)^2}{4040.2^x-4}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(2^x+3\right)^2}{4040.2^x-4}=1 \Leftrightarrow 2^{2 x}-4034.2^x+13=0$
Đặt $t=2^x,(t>0)$. (1) trở thành: $t^2-4034 \cdot t+13=0(2)$
Ta thấy (2) có 2 nghiệm phân biệt $t_1$, $t_2$ thỏa $\dfrac{1}{1010}<t_1<t_2$.
Do đó (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa (*).
Ta có: $t_1 \cdot t_2=13 \Rightarrow 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}=13 \Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=13 \Leftrightarrow x_1+x_2=\log _2 13$.
$x+1=2 \log _2\left(2^x+3\right)-\log _2\left(2020-2^{1-x}\right) \Leftrightarrow x+1=\log _2\left(2^x+3\right)^2-\log _2\left(\dfrac{2020.2^x-2}{2^x}\right)$
$\Leftrightarrow \log _2 \dfrac{\left(2^x+3\right)^2}{4040.2^x-4}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(2^x+3\right)^2}{4040.2^x-4}=1 \Leftrightarrow 2^{2 x}-4034.2^x+13=0$
Đặt $t=2^x,(t>0)$. (1) trở thành: $t^2-4034 \cdot t+13=0(2)$
Ta thấy (2) có 2 nghiệm phân biệt $t_1$, $t_2$ thỏa $\dfrac{1}{1010}<t_1<t_2$.
Do đó (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa (*).
Ta có: $t_1 \cdot t_2=13 \Rightarrow 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}=13 \Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=13 \Leftrightarrow x_1+x_2=\log _2 13$.
Đáp án C.