Google
Câu hỏi: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
$x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$
A. $2020$.
B. ${{\log }_{2}}2020$.
C. ${{\log }_{2}}13$.
D. $13$.
$x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$
A. $2020$.
B. ${{\log }_{2}}2020$.
C. ${{\log }_{2}}13$.
D. $13$.
Điều kiện: $2020-{{2}^{1-x}}>0$.
Phương trình $x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$ $\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x+1}}={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2020.2}^{x+1}}-4 \right)={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2020.2}^{x+1}}-4={{2}^{2x}}+{{6.2}^{x}}+9$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{4034.2}^{x}}+13=0$.
Đặt $t={{2}^{x}}, $ điều kiện $t>\dfrac{1}{1010}$.
Khi đó ta có: ${{t}^{2}}-4034.t+13=0 \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=2017-\sqrt{4068276} (thoaman) \\
& {{t}_{2}}=2017+\sqrt{4068276} (thoaman) \\
\end{aligned} \right..$
Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$, tương ứng với hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ của phương trình $\left( 2 \right)$. Ta có ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=13\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{2}}13.$ Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$ là ${{\log }_{2}}13$.
Phương trình $x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$ $\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x+1}}={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x+1}}+{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2020.2}^{x+1}}-4 \right)={{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{x}}+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2020.2}^{x+1}}-4={{2}^{2x}}+{{6.2}^{x}}+9$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{4034.2}^{x}}+13=0$.
Đặt $t={{2}^{x}}, $ điều kiện $t>\dfrac{1}{1010}$.
Khi đó ta có: ${{t}^{2}}-4034.t+13=0 \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=2017-\sqrt{4068276} (thoaman) \\
& {{t}_{2}}=2017+\sqrt{4068276} (thoaman) \\
\end{aligned} \right..$
Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$, tương ứng với hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ của phương trình $\left( 2 \right)$. Ta có ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=13\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{2}}13.$ Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x+1=2{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2020-{{2}^{1-x}} \right)$ là ${{\log }_{2}}13$.
Đáp án C.