Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ \dfrac{1}{2} \log...

$Ð \mathrm{KXĐ:}:\left\{\begin{array}{l}x+3>0 \\ x+1>0\end{array} \Leftrightarrow x>-1\right.$.
Phương trình đã cho tương đương với:
$
\begin{aligned}
& \log _2 \sqrt{x+3}-2 \sqrt{x+3}+x+3=\log _2(x+1)-2(x+1)+(x+1)^2(1) . \\
& \text { Xét } f(t)=\log _2 t-2 t+t^2 \text { với } t>0 . \\
& f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}-2+2 t=\dfrac{(2 \ln 2) t^2-(2 \ln 2) t+1}{t \ln 2}=\dfrac{2 \ln 2 \cdot\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1-\dfrac{1}{2} \ln 2}{t \cdot \ln 2}>0 \forall t>0 .
\end{aligned}
$
Ta có $f(t)$ là hàm số đồng biến trên $(0 ;+\infty)$ và $\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{x+3}) \in(0 ;+\infty) \\ (x+1) \in(0 ;+\infty)\end{array}\right.$.
Do đó $(1) \Leftrightarrow f(\sqrt{x+3})=f(x+1) \Leftrightarrow \sqrt{x+3}=x+1$
$\Leftrightarrow x+3=(x+1)^2 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-2\end{array}\right.$. So với điều kiện ta nhận $x=1$.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là $S=1$.