Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _2^2 x-\log _2 x^2+3=m$ có nghiệm $x \in[1 ; 8]$ là
A. 20 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 8 .
A. 20 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 8 .
$\mathrm{ÐK}: x>0$
Ta có: $\log _2^2 x-\log _2 x^2+3=m \Leftrightarrow \log _2^2 x-2 \log _2 x+3=m$
Đặt $\log _2 x=\mathrm{t}, x \in[1 ; 8] \Rightarrow t \in[0 ; 3]$.
Phương trình trở thành: $t^2-2 t+3=m$.
Xét hàm số $f(t)=t^2-2 t+3$, với $t \in[0 ; 3]$.
$f^{\prime}(t)=2 t-2, f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow 2 t-2=0 \Leftrightarrow t=1$.
Bảng biến thiên:
Để phương trình $\log _2^2 x-\log _2 x^2+3=m$ có nghiệm $x \in[1 ; 8]$ thì phương trình: $t^2-2 t+3=$ $m$ có nghiệm $t \in[0 ; 3]$.
Do đó đồ thị hàm số $y=f(t)$ và đường thẳng $y=m$ có điểm chung.
Từ bảng biến thiên ta thấy $2 \leq m \leq 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$.
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 20 .
Ta có: $\log _2^2 x-\log _2 x^2+3=m \Leftrightarrow \log _2^2 x-2 \log _2 x+3=m$
Đặt $\log _2 x=\mathrm{t}, x \in[1 ; 8] \Rightarrow t \in[0 ; 3]$.
Phương trình trở thành: $t^2-2 t+3=m$.
Xét hàm số $f(t)=t^2-2 t+3$, với $t \in[0 ; 3]$.
$f^{\prime}(t)=2 t-2, f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow 2 t-2=0 \Leftrightarrow t=1$.
Bảng biến thiên:
Do đó đồ thị hàm số $y=f(t)$ và đường thẳng $y=m$ có điểm chung.
Từ bảng biến thiên ta thấy $2 \leq m \leq 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$.
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 20 .
Đáp án A.