Câu hỏi: Với giá trị nào của m, bất phương trình:
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
Phương pháp giải
Tìm tập nghiệm S của bpt đã cho.
BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1; 2] nếu
Lời giải chi tiết
Ta có:
(Vì
Tập nghiệm của bpt là
Để bpt nghiệm đúng với mọi
Cách khác:
Ta có: (m2 +1)x + m.(x+3)+ 1> 0
⇔ (m2 + 1) x +mx + 3m +1 >0
⇔ (m2 +1+ m). X+ 3m + 1 > 0
Đặt y = f(x) = (m2 + m + 1)x+ 3m + 1
Ta coi y =f(x) là hàm số ẩn x và tham số m.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là -1 và 2.
F(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bm nằm phía trên trục hoành, tức là:
Mà
Nên
Vậy
Tìm tập nghiệm S của bpt đã cho.
BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1; 2] nếu
Lời giải chi tiết
Ta có:
(Vì
Tập nghiệm của bpt là
Để bpt nghiệm đúng với mọi
Cách khác:
Ta có: (m2 +1)x + m.(x+3)+ 1> 0
⇔ (m2 + 1) x +mx + 3m +1 >0
⇔ (m2 +1+ m). X+ 3m + 1 > 0
Đặt y = f(x) = (m2 + m + 1)x+ 3m + 1
Ta coi y =f(x) là hàm số ẩn x và tham số m.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là -1 và 2.
F(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bm nằm phía trên trục hoành, tức là:
Mà
Nên
Vậy