Google
Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức
Phương pháp giải:
Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|a + b| < |1 + ab|\)\( ⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2\) \( \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}\)
\(⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0\) \(⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0\)
\(⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0\)
Vì
\(\begin{array}{l}
\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} < 1\\
{b^2} < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 < 0\\
{b^2} - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left({{a^2} - 1} \right)\left({{b^2} - 1} \right) > 0
\end{array}\)
Vậy với \(|a| < 1; |b| < 1\) thì \(|a + b| < |1 + ab|\)
với mọi n ∈ N*
Phương pháp giải:
Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\)\(= \dfrac{1}{{2n}}\)
Do đó:
\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \)\(\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \)\(\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \)\(n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Phương pháp giải:
Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\)\(= \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\)
Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + a + b \ge 1 + a\\
1 + a + b \ge 1 + b
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}}\\
\dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{b}{{1 + b}}
\end{array} \right.\)
Suy ra \(\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\) \(\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\)
Vậy ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0\).
Câu a
\(|a + b| < |1 + ab|\) với \(|a| < 1; |b| < 1\)Phương pháp giải:
Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|a + b| < |1 + ab|\)\( ⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2\) \( \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}\)
\(⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0\) \(⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0\)
\(⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0\)
Vì
\(\begin{array}{l}
\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} < 1\\
{b^2} < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 < 0\\
{b^2} - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left({{a^2} - 1} \right)\left({{b^2} - 1} \right) > 0
\end{array}\)
Vậy với \(|a| < 1; |b| < 1\) thì \(|a + b| < |1 + ab|\)
Câu b
\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\)với mọi n ∈ N*
Phương pháp giải:
Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\)\(= \dfrac{1}{{2n}}\)
Do đó:
\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \)\(\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \)\(\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \)\(n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Câu c
\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) với mọi \(a ≥ 0; b ≥ 0\). Khi nào có đẳng thức?Phương pháp giải:
Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\)\(= \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\)
Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + a + b \ge 1 + a\\
1 + a + b \ge 1 + b
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}}\\
\dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{b}{{1 + b}}
\end{array} \right.\)
Suy ra \(\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\) \(\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\)
Vậy ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!