Bài 83 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

Câu a​

(m - 4)x2 ​- (m - 6)x + m – 5 ≤ 0
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp hệ số a=0 và \(a\ne 0\).
TH \(a\ne 0\) thì tam thức bậc hai
\(a{x^2} + bx + c \le 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
+ Với m = 4, bất phương trình thành:
2x – 1 ≤  0 \(\Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\), không thỏa mãn điều kiện với mọi x
+ Với m ≠ 4. : (m - 4)x2 ​- (m - 6)x + m – 5 ≤ 0, ∀x
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m - 4 < 0 \hfill \cr 
\Delta = {(m - 6)^2} - 4(m - 4)(m - 5) \le 0 \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
{m^2} - 12m + 36 - 4\left({{m^2} - 9m + 20} \right) \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
- 3{m^2} + 24m - 44 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{{12 + 2\sqrt 3 }}{3}\\
m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
Vậy \(m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}\).

Câu b​

(m2 ​- 1)x2 ​+ 2(m + 1)x + 3 > 0
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp hệ số a=0 và \(a\ne 0\).
TH \(a\ne 0\) thì tam thức bậc hai
\(a{x^2} + bx + c > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
TH1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)
+ Với m = 1, bất phương trình trở thành:
4x + 3 > 0 \(\Leftrightarrow x >  - \frac{3}{4}\), không thỏa mãn với mọi x
+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x nên m = -1 thỏa mãn bài toán.
TH2: Với \(m \ne  \pm 1\) thì:
(m2 ​- 1)x2 ​+ 2(m + 1) + 3 > 0 ∀x
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3({m^2} - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\\{m^2} + 2m + 1 - 3{m^2} + 3 < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb R\)