Google
Câu hỏi: Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
{x^2} - 5x + 6 < 0 (1)\hfill \cr
ax + 4 < 0 (2)\hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow {S_1} = \left({2; 3} \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow ax < - 4(*)\)
+ Nếu a = 0 thì (*) là \(0x<-4\) nên (*) vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì \((*) \Leftrightarrow x < - {4 \over a}\)\(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ; - \frac{4}{a}} \right)\)
Vì \( - {4 \over a} < 0\) nên \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) hay hệ vô nghiệm.
+ Nếu a < 0 thì \((*) \Leftrightarrow x > - {4 \over a}\)\(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \frac{4}{a};+\infty} \right)\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
- 4 > 3a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
a < - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow a < - \frac{4}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a < - {4 \over 3}\)
4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr
{x^2} - 2ax + 1 \le 0\hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
$^{*}$ Ta có: $4 x+1<7 x-2$
$\Leftrightarrow-3 x<-3 \Leftrightarrow x>1$ (*)
* Xét bất phương trình thứ hai của hệ :
Ta có: $\Delta^{\prime}=a^{2}-1$
+ Nếu a =1 thì BPT thứ hai trở thành:
$x^{2}-2 x+1 \leq 0$
$\Leftrightarrow(x-1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x=1$
Kết hợp với $(*)$ suy ra hệ vô nghiệm
+ Nếu a =-1 thì BPT thứ hai trở thành:
$x^{2}+2 x+1 \leq 0$
$\Leftrightarrow(x+1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x=-1$
Kết hợp với (*) suy ra hệ vô nghiệm
+ Nếu ∆’ < 0 hay – 1 < a < 1 thì \({x^2} - 2ax + 1 > 0,\forall x\) nên BPT thứ hai vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu ∆’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức x2- 2ax +1 có hai nghiệm phân biệt là x1 < x2.
Theo hệ thức Vi –et ta có: x1. X2 = 1 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu và x1 + x2 = 2a.
• Nếu a < -1 thì x1 + x2 < 0 nên x1 < x2 < 0 và nghiệm của BPT (2) là [x1; x2]
Kết hợp với (*) suy ra: hệ vô nghiệm
• Nếu a > 1 thì x1+ x2 > 0 nên 0 < x1 < x2 và nghiệm của BPT (2) là là [x1; x2]
Kết hợp với (*) suy ra: hệ có nghiệm (chú ý: x1. X2 = 1)
Vậy a > 1.
Câu a
\(\left\{ \matrix{{x^2} - 5x + 6 < 0 (1)\hfill \cr
ax + 4 < 0 (2)\hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow {S_1} = \left({2; 3} \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow ax < - 4(*)\)
+ Nếu a = 0 thì (*) là \(0x<-4\) nên (*) vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì \((*) \Leftrightarrow x < - {4 \over a}\)\(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ; - \frac{4}{a}} \right)\)
Vì \( - {4 \over a} < 0\) nên \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) hay hệ vô nghiệm.
+ Nếu a < 0 thì \((*) \Leftrightarrow x > - {4 \over a}\)\(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \frac{4}{a};+\infty} \right)\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
- 4 > 3a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
a < - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow a < - \frac{4}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a < - {4 \over 3}\)
Câu b
\(\left\{ \matrix{4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr
{x^2} - 2ax + 1 \le 0\hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
$^{*}$ Ta có: $4 x+1<7 x-2$
$\Leftrightarrow-3 x<-3 \Leftrightarrow x>1$ (*)
* Xét bất phương trình thứ hai của hệ :
Ta có: $\Delta^{\prime}=a^{2}-1$
+ Nếu a =1 thì BPT thứ hai trở thành:
$x^{2}-2 x+1 \leq 0$
$\Leftrightarrow(x-1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x=1$
Kết hợp với $(*)$ suy ra hệ vô nghiệm
+ Nếu a =-1 thì BPT thứ hai trở thành:
$x^{2}+2 x+1 \leq 0$
$\Leftrightarrow(x+1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x=-1$
Kết hợp với (*) suy ra hệ vô nghiệm
+ Nếu ∆’ < 0 hay – 1 < a < 1 thì \({x^2} - 2ax + 1 > 0,\forall x\) nên BPT thứ hai vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu ∆’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức x2- 2ax +1 có hai nghiệm phân biệt là x1 < x2.
Theo hệ thức Vi –et ta có: x1. X2 = 1 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu và x1 + x2 = 2a.
• Nếu a < -1 thì x1 + x2 < 0 nên x1 < x2 < 0 và nghiệm của BPT (2) là [x1; x2]
Kết hợp với (*) suy ra: hệ vô nghiệm
• Nếu a > 1 thì x1+ x2 > 0 nên 0 < x1 < x2 và nghiệm của BPT (2) là là [x1; x2]
Kết hợp với (*) suy ra: hệ có nghiệm (chú ý: x1. X2 = 1)
Vậy a > 1.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!