Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các bất phương trình sau:

Câu a​

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le x - 4\)
Phương pháp giải:
Áp dụng \(\sqrt f \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f \ge 0\\
g \ge 0\\
f \le {g^2}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr 
x - 4 \ge 0 \hfill \cr 
{x^2} - 4x - 12 \le {(x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 6\end{array} \right.\\x \ge 4\\{x^2} - 4x - 12 \le {x^2} - 8x + 16\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x \le - 2 \hfill \cr x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge 4 \hfill \cr 4x \le 28 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 6\end{array} \right.\\x \ge 4\\x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7\cr} \)
Vậy \(S = [6,7]\)

Câu b​

\((x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\)
Phương pháp giải:
Chia thành các trường hợp \(x-2=0\), \(x-2>0\) và \(x-2 < 0\) để giải bpt.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\((x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le \left({x - 2} \right)\left({x + 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow (x - 2)(\sqrt {{x^2} + 4}  - x - 2) \le 0\)
+ Với x = 2 ta có \(VT=0 \le 0\) nên x=2 là nghiệm của bất phương trình
+ Với x > 2, ta có:
\(\begin{array}{l}
\left({x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4} \le x + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
{x^2} + 4 \le {\left({x + 2} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} + 4 \le {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
4x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ge 0
\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện x > 2, ta có: x > 2.
+ Với x < 2, ta có:
\(\begin{array}{l}
\left({x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4} \ge x + 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 < 0\\
{x^2} + 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
{x^2} + 4 \ge {\left({x + 2} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} + 4 \ge {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
4x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
- 2 \le x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 0
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞)\)

Câu c​

\(\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2(x + 1)\)
Phương pháp giải:
Áp dụng \(\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 8x \ge 0 \hfill \cr 
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 1 \ge 0 \hfill \cr 
{x^2} - 8x \ge 4{(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr 
& (II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr 
3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr 
{{ - 8 - 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 1 \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\(S = ( - \infty , - 1) \cup {\rm{[}} - 1, {{2\sqrt {13}  - 8} \over 3}{\rm{]}} \) \(= ( - \infty ,{{2\sqrt {13}  - 8} \over 3}{\rm{]}}\)

Câu d​

\(\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 - {x^2} - 3x\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {x(x + 3)}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {x(x + 3)} (t \ge 0)\)
⇒ x2​ + 3x = t2​ ⇔ t2​ + t - 6 ≤ 0 ⇔  -3 ≤ t ≤ 2
Kết hợp với điều kiện \(t \ge 0\) ta được:
0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x2​ + 3x ≤ 4
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr 
{x^2} + 3x - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
- 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4 \le x \le -3 \hfill \cr 
0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S  = [-4, -3] ∪ [0,1]\)