Google
Câu hỏi: Với giá trị nào của m, bất phương trình:
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
Phương pháp giải
Tìm tập nghiệm S của bpt đã cho.
BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1; 2] nếu \(\left[ { - 1; 2} \right] \subset S\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} + 1} \right)x + m\left({x + 3} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} + 1} \right)x + mx + 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} + m + 1} \right)x > - 3m - 1\\ \Leftrightarrow x > \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}\end{array}\)
(Vì \({m^2} + m + 1 \) \(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall m\))
Tập nghiệm của bpt là \(S = \left( {\frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}; + \infty } \right)\)
Để bpt nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1; 2} \right]\) thì
\(\begin{array}{l}\left[ { - 1; 2} \right] \subset S\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}} < - 1\\ \Leftrightarrow - 3m - 1 < - {m^2} - m - 1\\\left( {Do {m^2} + m + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m < 0\\ \Leftrightarrow 0 < m < 2\end{array}\)
Cách khác:
Ta có: (m2 +1)x + m.(x+3)+ 1> 0
⇔ (m2 + 1) x +mx + 3m +1 >0
⇔ (m2 +1+ m). X+ 3m + 1 > 0
Đặt y = f(x) = (m2 + m + 1)x+ 3m + 1
Ta coi y =f(x) là hàm số ẩn x và tham số m.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là -1 và 2.
F(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bm nằm phía trên trục hoành, tức là:
\(\left\{ \matrix{
f(- 1) > 0 \hfill \cr
f(2) > 0 \hfill \cr} \right.\)
Mà \(f\left( { - 1} \right) = \left({{m^2} + m + 1} \right).\left({ - 1} \right) + 3m + 1\)\(= - {m^2} + 2m\)
\(f\left( 2 \right) = \left({{m^2} + m + 1} \right). 2 + 3m + 1\)\(= 2{m^2} + 5m + 3\)
Nên \(\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 2m > 0\\2{m^2} + 5m + 3 > 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\)
Vậy \(0 < m < 2\).
Tìm tập nghiệm S của bpt đã cho.
BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1; 2] nếu \(\left[ { - 1; 2} \right] \subset S\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} + 1} \right)x + m\left({x + 3} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} + 1} \right)x + mx + 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} + m + 1} \right)x > - 3m - 1\\ \Leftrightarrow x > \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}\end{array}\)
(Vì \({m^2} + m + 1 \) \(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall m\))
Tập nghiệm của bpt là \(S = \left( {\frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}; + \infty } \right)\)
Để bpt nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1; 2} \right]\) thì
\(\begin{array}{l}\left[ { - 1; 2} \right] \subset S\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}} < - 1\\ \Leftrightarrow - 3m - 1 < - {m^2} - m - 1\\\left( {Do {m^2} + m + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m < 0\\ \Leftrightarrow 0 < m < 2\end{array}\)
Cách khác:
Ta có: (m2 +1)x + m.(x+3)+ 1> 0
⇔ (m2 + 1) x +mx + 3m +1 >0
⇔ (m2 +1+ m). X+ 3m + 1 > 0
Đặt y = f(x) = (m2 + m + 1)x+ 3m + 1
Ta coi y =f(x) là hàm số ẩn x và tham số m.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là -1 và 2.
F(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bm nằm phía trên trục hoành, tức là:
\(\left\{ \matrix{
f(- 1) > 0 \hfill \cr
f(2) > 0 \hfill \cr} \right.\)
Mà \(f\left( { - 1} \right) = \left({{m^2} + m + 1} \right).\left({ - 1} \right) + 3m + 1\)\(= - {m^2} + 2m\)
\(f\left( 2 \right) = \left({{m^2} + m + 1} \right). 2 + 3m + 1\)\(= 2{m^2} + 5m + 3\)
Nên \(\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 2m > 0\\2{m^2} + 5m + 3 > 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\)
Vậy \(0 < m < 2\).