Bài 81 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận các bất phương trình sau:

Câu a​

a2​x + 1 > (3a - 2)x + 3
Phương pháp giải:
Biến đổi bpt về dạng Ax > B và biện luận dựa theo các điều kiện của hệ số A.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2}x + 1 > \left( {3a - 2} \right)x + 3\\ \Leftrightarrow {a^2}x - \left({3a - 2} \right)x > 3 - 1\\ \Leftrightarrow \left({{a^2} - 3x + 2} \right)x > 2 \left(* \right)\end{array}\)
+) TH1: \({a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\)
Khi đó (*) là \(0x > 2\) (vô lí)
Do đó bpt vô nghiệm.
+) TH2: \({a^2} - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 2\\a < 1\end{array} \right.\) thì
\(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\) nên BPT có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right)\)
+) TH3: \({a^2} - 3a + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < a < 2\) thì
\(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\) nên BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right)\)
Vậy,
+ Nếu \(a = 1\) hoặc \(a = 2\) thì BPT vô nghiệm.
+ Nếu \(a > 2\) hoặc \(a < 1\) thì BPT có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right)\)
+ Nếu \(1 < a < 2\) thì BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right)\).

Câu b​

2x2 ​+ (m - 9)x + m2 ​+ 3m + 4 ≥ 0
Phương pháp giải:
Tính \(\Delta \) và biện luận tập nghiệm của bpt theo \(\Delta\) dựa vào định lý dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Δ = (m – 9)2​ – 8(m2​ + 3m + 4)
= -7(m2​ + 6m – 7)
+) TH1: \(\Delta  \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 7\left( {{m^2} + 6m - 7} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 7\end{array} \right.\end{array}\)
Khi đó 2x2 ​+ (m - 9)x + m2 ​+ 3m + 4 ≥ 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên bpt có tập nghiệm \(S = \mathbb{R}\)
+) TH2: \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow  - 7 < m < 1\)
Khi đó tam thức vế trái của bpt có hai nghiệm phân biệt:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr 
& {x_2} = {{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr} \)
Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x ≤ x1 ​hoặc x ≥ x2​.
Vậy:
+ Nếu m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R
+ Nếu -7 < m < 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\(( - \infty ;{{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4}) \cup \)
\(({{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4},+\infty )\)