Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Câu a​

\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0
Phương pháp giải:
Nhân cả 2 vế bđt với 2 và biến đổi tương đương.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr& + (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b)^2} + {(\sqrt b - \sqrt c)^2} + {(\sqrt c - \sqrt a)^2} \ge 0(dung) \cr} \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Cách khác:
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm ta có:
\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\b + c \ge 2\sqrt {bc} \\c + a \ge 2\sqrt {ca} \end{array}\)
Lấy vế cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:
\(\begin{array}{l}a + b + b + c + c + a \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ca} \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) \ge 2\left({\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right)\\ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \end{array}\)
Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b = c .

Câu b​

$a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2} \geq a b c(a+b+c)$ với mọi $a, b, c \in R$
Khi nào có đẳng thức?
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2} \geq a b c(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2 a^{2} b^{2}+2 b^{2} c^{2}+2 c^{2} a^{2} \geq 2 a b c(a+b+c)$
$\Leftrightarrow\left(a^{2} b^{2}-2 a^{2} b c+a^{2} c^{2}\right)+\left(a^{2} c^{2}-2 c^{2} a b+b^{2} c^{2}\right)+\left(a^{2} b^{2}-2 b^{2} a c+b^{2} c^{2}\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow(a b-a c)^{2}+(a c-b c)^{2}+(a b-b c)^{2} \geq 0$ (luôn đúng)
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc 2 trong 3 số $a, b, c=0$.

Cách khác:
Với các số thực $a, b, c$ ta luôn có: $a^{2} \geq 0 ; b^{2} \geq 0 ; c^{2} \geq 0$ Do đó $a^{2} b^{2} \geq 0 ; b^{2} c^{2} \geq 0 ; c^{2} a^{2} \geq 0$
Áp dụng bđt Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}.{b^2}{c^2}} = 2{b^2}ac\\{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge 2\sqrt {{b^2}{c^2}.{c^2}{a^2}} = 2{c^2}ab\\{c^2}{a^2} + {a^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{c^2}{a^2}.{a^2}{b^2}} = 2{a^2}bc\end{array}\)
Cộng vế với vế các bđt trên ta được:
\(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}\\ \ge 2{b^2}ac + 2{c^2}ab + 2{a^2}bc\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)\\ \ge 2abc\left({a + b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left({a + b + c} \right)\end{array}\)
Dấu = xảy ra khi \(a = b = c\) hoặc hai trong ba số bằng 0.